三门问题

问题描述

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

引自三门问题_百度百科 (baidu.com)

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/**
 * 随机函数
 * @returns {number}
 */
function random(min, max) {
    return Math.floor(Math.random() * (max - min) + min);
}


/**
 * 创建题目
 * @returns {[number]} 
 */
function createDoor() {
    let gold = random(0, 3);
    let q = [false, false, false];
    q[gold] = true;
    return q;
}

/**
 * 单次测试模拟
 * @param isHeGod 主持人是否知道答案，true为知道，false为不知道
 * @returns {number} 0：换另一个选项，1：坚持原选项，2：主持人选中
 */
function utest(isHeGod) {
    // 题目生成
    let door = createDoor();
    // 我随机选
    let ichoose = random(0, 3);
    // 主持人随机选
    let hechoose = (ichoose + 1) % 3;
    // 如果他知情的话就不选中奖的门
    if (isHeGod) {
        for (let i = 0; i < door.length; i++) {
            if (i === ichoose) continue
            if (!door[i]) {
                hechoose = i;
                break;
            }
        }
    }

    // 返回结果
    if (door[hechoose]) {
        return 2
    } else {
        if (!door[ichoose]) {
            return 0
        } else {
            return 1
        }
    }
}

/**
 * 大量测试
 */
function run() {
    let isHeGod = true;
    console.log('isHeGod => ', isHeGod);
    let total = 10e6
    // a：换另一个选项，b：坚持原选项，c：主持人选中
    let a = b = c = 0;
    for (let i = 0; i < total; i++) {
        let res = utest(isHeGod)
        switch (res) {
            case 0: a += 1; break;
            case 1: b += 1; break;
            case 2: c += 1; break;
        }
    }
    console.log({ total, a, b, c })
}

// 开始测试
run();

运行结果

主要区分主持人是否知道答案，这里用变量isHeGod来区分

主持人知道答案的情况（isHeGod === true）

image.png

一千万次测试中，换另一个选项的中奖：666w，坚持原选项中奖：333w，主持人选中：0，换另一个选项的中奖概率占到2/3。

主持人不知道答案的情况（isHeGod === false）

image.png

一千万次测试中，换另一个选项的中奖：333w，坚持原选项中奖：333w，主持人选中：333w，换另一个选项的中奖比例占到1/3。但如果说在排除主持人选的次数，换选项与坚持原选项的概率其实都是1/2。

总结

这里最终是换选项还是不换选项呢，就见仁见智啦。但放到一定的场景中，作为节目主持人，肯定是知道要想尽办法不给中奖的，不然一翻翻了个大奖出来节目不得亏死，而且这样才需要我们去想后续重新选择的概率，所以个人还是比较站换一个选项的。

概率学上弄明白

这里只讨论主持人知道答案的情况哈

假设有A/B/C三个选项，A是大奖选项。

第一次选择

完全盲选，各各中奖的概率平分，皆为1/3。

01.png

主持人选择

这里主持人由于不能选择与user重复，并且不能选择中奖的那个选项，所以会分为两种情况：

  1. user选了A，主持人就可以随便选B或C都行
  2. user选了B/C，主持人只能对应选C/B。

02.png

第二次选择

第二次选择我们要换选项，可以看到，我们选到A中奖的总概率一共是1/3 + 1/3 = 2/3。

03.png

以后想到再继续更新